Задачи на «Инвариант» с ответами, 6 класс. Алгебра
Математические задачи для учащихся 6 класса с решением. Тема: Инварианты
Инвариант - величина, которая не изменяется в результате некоторых операций (например, разрезание и перестановка частей фигуры не меняет суммарной площади фигуры). Инварианты обычно используются для доказательства невозможности получить некое требуемое состояние из исходного с помощью указанных допустимых преобразований. Если инвариант различает два положения, то от одного нельзя перейти к другому. В качестве инварианта может использоваться чётность или раскраску. В задачах про сумму цифр используются остатки от деления на 3 или на 9.
Задача 1.
В одной клетке квадратной таблицы 4x4 стоит знак «минус», а в остальных стоят «плюсы». Разрешается одновременно менять знак во всех клетках, расположенных в одной строке или в одном столбце. Докажите, что сколько бы мы ни проводили таких перемен знаков, нам не удастся получить таблицы из одних «плюсов».
Решение:
Заменим знак « + » на 1, знак « - » на - 1. Заметим, что произведение всех чисел в таблице не меняется при смене знака у всех чисел столбца или строки, так как одновременно меняется знак у четырёх чисел. В начальном положении это произведение равно - 1, а в таблице из одних «плюсов» равно + 1, чем и доказывается невозможность перехода.
Задача 2.
На прямой стоят 2 фишки: слева - красная, справа - синяя. Разрешается производить любую из двух операций: вставку двух фишек одного цвета подряд (между фишками или с краю) и удаление пары соседних одноцветных фишек (между которыми нет других фишек). Можно ли с помощью таких операций оставить на прямой ровно 2 фишки: слева - синюю, а справа - красную?
Решение:
Рассмотрим число разноцветных пар (не только соседних), где левая фишка - красная, и заметим, что чётность этого показателя не меняется. Но в исходной ситуации наш показатель равен 1, в желаемой ситуации - нулю. Поэтому перейти к желаемой ситуации невозможно.
Ответ: нельзя.
Задача 3.
Натуральное число можно умножать на два и произвольным образом переставлять в нём цифры, причём запрещается ставить нуль на первое место. Можно ли превратить число 1 в 846 с помощью таких операций?
Решение:
При помощи указанных операций нельзя получить число, кратное 3, а 846 кратно 3.
Ответ: нельзя.
Инвариант - остаток
Задача 4.
Было 5 кусков бумаги. Некоторые из них разрезали на 5 кусков каждый. Затем некоторые из получившихся кусков снова разрезали на 5 кусков, так сделали несколько раз. Могло ли в результате получиться 1975 кусков?
Решение:
При разрезании одного куска число кусков увеличивается на 4. Поэтому остаток от деления количества кусков на 4 не изменяется. 5 при делении на 4 даёт остаток 1, а 1975 при делении на 4 - остаток 3.
Ответ: не могло.
Задача 5.
Лист бумаги разрезали на 4 части. Затем некоторые из них или все из этих частей опять разрезали на 4 части и т. д. Можно ли в результате получить 50 листочков бумаги любого размера?
Решение:
Число 4 при делении на 3 даёт остаток 1. Предположим, что из четырёх первоначальных частей листа мы взяли одну часть и снова разрезали на 4 части. Таким образом, вместо одной части листа появилось 4 новых листа или, другими словами, к четырём первоначальным листам добавилось ещё 3 (то есть число, которое без остатка делится на 3). Поэтому какое бы число листочков мы ни брали и ни разрезали на 4 части, общее их число будет по-прежнему при делении на 3 давать остаток 1. Число же 50 при делении на 3 даёт остаток 2.
Ответ: нельзя.
Задача 6.
Имеется три груды камней: в первой - 1996, во второй - 996, в третьей - 96 камней. Одним ходом разрешается либо убрать из каждой груды по одному камню, либо половину камней из какой- либо груды (если в ней чётное число камней) переложить в любую другую. Можно ли добиться того, чтобы во всех трёх грудах не осталось ни одного камня?
Решение:
После каждого хода остаток от деления на 3 общего количества камней не меняется. Общее количество камней вначале было: 1996 + 996 + 96 = 3088 = 3 • 1029 + 1. Это число не делится на 3, следовательно, нельзя добиться, чтобы во всех грудах не осталось камней.
Ответ: нельзя.
Рекомендуем посмотреть:
Олимпиадные задачи на тему «Чётность» с ответами, 5 класс
Математическая игра «Поле чудес» для 6 класса
Сценарий математической игры для 7 класса. Внеклассное мероприятие
Интеллектуальный марафон по математике с ответами, 5-9 класс
Нет комментариев. Ваш будет первым!