Факультатив по математике, 7 класс. Алгоритмы Пифагоровых последовательностей

Автор: Алексей Владимирович Левченко
Цель: закрепление понятия степени числа, графический и геометрический алгоритм сумм квадратов, выведение формул для Пифагоровых троек, практические вычисления.

1) Если рассматривать квадраты чисел не в качестве соотношений катетов с гипотенузой, а как площади квадратов, составленных из единичных квадратов со стороной 1, можно создать удобный для учеников алгоритм формирования уравнений, для Пифагоровых троек.

2) Смысл метода в том, что любой квадрат, надстраивается единичными квадратами, минимально возможным способом:
к одной стороне надстраиваемого квадрата, присоединяется точно такая же, "у".
И к прилежащей стороне, присоединяется такая же: у + у = 2у

3) Остаётся заполнить одним единичным квадратом вершину, между присоединёнными элементами:
2у + 1, это величина надстройки.

4) Учитывая, что вся надстройка, это весь квадрат-"надстройщик", х^2, то
х^2 = 2у + 1 => у = (х^2 - 1): 2.

5) Таким образом, минимально возможная надстройка, графически – в виде прямого угла из единичных квадратов.
Значит – сторона надстраиваемого квадрата, увеличится на единицу.

6) В силу правил арифметики, количество единичных квадратов в надстройке, всегда нечётное.
То есть: х^2; нечётное число, соответственно x – нечётное число.

7) Необходимо разделить х^2 так, чтобы получились три части – это будут две стороны надстраиваемого квадрата, и плюс один единичный угловой квадрат , вершина надстройки, соединяющий две стороны.

8) Сторона первого квадрата – х; второго квадрата y = (х^2 - 1): 2; соответственно сторона результата
z = (х^2 - 1): 2 + 1.

9) Пример:
возьмём любое* нечётное число х, от трёх и выше. Возведём в квадрат: x^2 = 9, это площадь первого квадрата, она же, величина надстройки для второго квадрата.

10) Вычислим сторону другого квадрата, для этого– вычтем из х^2 единицу («угловой» квадрат), 9 - 1 = 8, получив удвоенную искомую сторону*; поэтому, разделим результат на два 8 : 2 = 4.
Готовы две стороны, 3 и 4.

11) Поскольку известно, что одна надстройка, увеличивает сторону квадрата ровно на единицу, то =>
воспользуемся формулой y = (x^2 - 1): 2, из которой следует формула:
z = y + 1 = (х^2 - 1): 2 +1;
z = (х^2 - 1): 2 + 1;
z = (9 - 1) : 2 + 1 = 5.

13) [Или суммировать квадраты, и затем извлечь корень, кому так удобней].
Пифагорова тройка: 3, 4, 5.

14) Если же необходимо увеличить сторону надстраиваемого квадрата не на единицу, а сразу на две, то нужны две подряд надстройки.
Одна надстройка нечётная, значит две надстройки – чётное число.

15) Поэтому икс, основание и сторона первого квадрата, тоже чётное число, как и квадрат – тоже чётный.
Следующая надстройка, всегда больше предыдущей на два: так как её сторона больше на единицу и плюс «свой» угол.

16) Значит надо взять любое чётное натуральное число икс, от четырёх и больше, (основание и сторону первого квадрата), возвести в квадрат, и разделить его на два, ибо надстроек две =>
х^2 : 2.

17) Надстройки отличаются на два, значит от результата надо вычесть единицу [которую можно прибавить ко второй половине, если это зачем-то понадобится, тогда ученикам будет видно,что разница станет ровно два] =>
х^2 : 2 - 1.
Это величина первой, меньшей надстройки.
х^2: 2 + 1, величина второй, большей надстройки].

18) Итак: получив формулу меньшей надстройки, нужно вычесть из неё угловой квадрат, получив удвоенную сторону игрек.
(х^2 : 2 - 1) - 1 = х^2 : 2 - 2;
2у = х^2 : 2 - 2, удвоенная сторона надстраиваемого квадрата.

19) Разделив на два, получим сторону*:
у = (х^2 : 2 - 2): 2.

20) Поскольку надстроек было две, значит сторона игрек, до стороны зет, увеличена ровно на две единицы:
z = у + 2 = (х^2 : 2 - 2): 2 + 2.

21) Три примера:
х=4; 4^2=16; 16:2=8; 8-2=6; 6:2=3; 3+2=5. Пифагорова тройка 4, 3, 5.
х=6; 6^2=36; 36:2=18; 18-2=16; 16:2=8; 8+2=10. Пифагорова тройка 6, 8, 10.
х=8; 8^2=64; 64:2=32; 32-2=30; 30:2=15; 15+2=17. Пифагорова тройка 8, 15, 17.

22) В силу правил арифметики, равенства сторон квадрата, все вышеуказанные соотношения, жёстко детерминированы.

Поэтому из формул и примеров следует, что число надстроек, равно:
- числу, вычитаемому из части квадрата-"надстройщика",
- разности между настройками,
- количеству всех вершин – «угловых», единичных квадратов надстроек,
- каждому делителю квадрата стороны, [квадрата-донора] т. е. х^2;
- числу единичных квадратов (единиц), на которые увеличена сторона игрек, до стороны зет.

Рекомендуем посмотреть:

Рабочая программа факультатива по математике, 7 класс