Задачи на принцип Дирихле 4 класс с решением

Факультатив по математике для 4 класса. Тема: Принцип Дирихле

Цель: продолжить разбор задач, решаемых по принципу «в худшем случае», и с его помощью научить выявлять и решать определенный вид задач, развивающий логическое мышление, нестандартность рассуждений, умение обосновывать свое решение.

Ход занятия

Учитель. Если 101 кролика рассадить в 100 клеток, то по крайней мере в одной клетке будет 2 кролика. Понятно почему: ведь в худшем случае, если бы в каждой клетке сидело не больше одного кролика, в 100 клетках их было бы не больше 100.

А если бы было 35 клеток и 743 кролика, то можно было бы утверждать, что даже в худшем случае, если бы в каждой клетке сидело по 21 кролику, еще 8 кроликов резвилось бы на свободе. Следовательно, если рассадить всех кроликов, то по крайней мере в одной клетке будет сидеть не меньше 22 кроликов.

Эти подсчеты с кроликами и клетками в действительности связаны с важным математическим утверждением - принципом Дирихле.

Решение задач.

Задача 1. В школе 20 классов. В ближайшем доме живет 23 ученика этой школы. Можно ли утверждать, что среди них обязательно найдутся хотя бы 2 одноклассника?

Решение.

Даже если считать, что в худшем случае в каждом классе учится по 1 ученику, живущему в ближайшем доме, то останется еще 3 ученика, каждый из которых учится вместе с кем-то из уже имеющихся в классе, то есть найдется класс, в котором будет 2 ученика из соседнего дома.

Задача 2. В школе учится 370 человек. Докажите, что среди всех учащихся найдутся 2 человека, празднующих свой день рождения в один и тот же день. (Решается учащимися самостоятельно.)

Задача 3. Коля подсчитал, что за день в завтрак, обед и ужин он съел 10 конфет. Докажите, что хотя бы один раз он съел не меньше четырех конфет. (Решается учащимися самостоятельно.)

Задача 4. В классе 37 человек. Докажите, что среди них найдутся 4 человека, родившиеся в один и тот же месяц.

Решение.

В худшем случае в каждом из 12 месяцев родилось по 3 человека - всего 36 человек. 37-й родился с какой-то из этих троек в один месяц.

Задача 5. В коллекции имеется 25 монет по 1, 2, 3, 5 копеек. Имеется ли среди них 7 монет одинакового достоинства? (Решается учащимися самостоятельно.)

Задача 6. Пять мальчиков собрали вместе 14 грибов, причем каждый нашел хотя бы один гриб. Докажите, что хотя бы два мальчика нашли одинаковое число грибов.

Решение.

В худшем случае у пяти мальчиков могло быть различное число грибов, а всего 1+2 + 3 + 4 + 5 = 15. Но грибов было 14, следовательно, кто-то один, кроме первого, нашел на один гриб меньше. Тогда найдутся 2 мальчика, которые нашли одинаковое число грибов.

Задача 7. Учительница объявила результаты диктанта. Больше всех ошибок было у Пети - 13.

Докажите, что среди 28 учащихся, допустивших ошибки, найдутся 3 человека с одинаковым числом ошибок.

Решение.

Наибольшее число учащихся, имеющих разное число ошибок, - 13 (от 1 до 13). Если бы одинаковое число ошибок имели по 2 человека, то их было бы 2 • 13 = 26.

Из 28 учащихся найдутся трое, имеющих одинаковое число ошибок.

Задача 8. В первенстве по футболу участвует 18 команд. Первенство разыгрывается в один круг, любые две команды встречаются только один раз. Известно, что каждая команда сыграла какое-то число игр. Докажите, что найдутся две команды, сыгравшие одинаковое число игр. (Решается учащимися самостоятельно.)

Задача 9. В городе живет 200 тыс. жителей. Докажите, что в городе найдутся хотя бы 2 человека с одинаковым числом волос на голове, если считать, что у человека на голове не больше 150 тыс. волос. (Решается учащимися самостоятельно.)

Задача 10. В классе 25 учащихся. Из них 20 занимаются английским языком, 17 увлекаются плаванием, 14 посещают математический кружок. Докажите, что хотя бы один ученик занимается всем этим вместе.

Решение.

Занимаются английским и увлекаются плаванием не меньше 20 + 17 - 25 = 12 человек, кроме них в классе не больше 25 — 12=13 человек, а посещают математический кружок 14, значит, в классе найдется хотя бы один ученик, который и занимается английским языком, и увлекается плаванием, и посещает математический кружок.

Рекомендуем посмотреть:

Факультатив по математике, 4 класс. Задачи на переливание

Факультатив по математике, 4 класс. Решение задач на чётность

Решение логических задач, 4 класс. Факультатив

Факультатив по математике, 4 класс. Решение текстовых задач

Внеурочное занятие по математике, 4 класс. Решение задач и уравнений