Научно-исследовательский проект по математике, 6 класс

Научный руководитель: Ф.И.О. Тютина Надежда Валентиновна, учитель математики
Содержание работы:
Введение
Гипотеза исследования
Ход исследования
Ход 1
Ход 2
Ход 3
Применение
Моё выступление и опрос
Мой правильный паркет с рисунком
Заключение
Список использованной литературы

ВВЕДЕНИЕ
Математик, также как и художник или поэт, создает узоры.(Г. Харди.)
Правильные паркеты. Мозаика
Правильные паркеты – это бесконечное семейство многоугольников, покрывающее плоскость без просветов и двойных покрытий. Покрытие плоскости может составляться из одинаковых правильных многоугольников, из разных правильных многоугольников, из не правильных многоугольников, из произвольных фигур, при котором многоугольники имеют общую сторону, либо общую вершину или совсем не имеют общих точек. Чаще говорят просто – геометрическая мозаика.

Мозаика выглядит очень красиво, если она построена согласно определению. В работе я рассмотрю мозаики в которых используются правильные геометрические фигуры на плоскости. Но, тем не менее покажу примеры хаотичной мозаики, которая выкладывается в определённый рисунок.

Рассмотрим какими же правильными многоугольниками можно замостить плоскость вокруг одной точки без просвета?
Правильный паркет можно составить из равносторонних треугольников, квадратов и из правильных многоугольников.
Посмотрим сколько может сходиться правильных многоугольников в одной вершине. Для этого 360:7=51,43……0; 360:6=60. Таким образом получаем, что при схождении в одной вершине семи и более многоугольников хотя бы один угол в правильном многоугольнике получается должен быть менее 60, а это невозможно, поскольку у правильного треугольника он 60, а меньше нет многоугольника нет. Также не может быть, чтобы при схождении в одной вершине двух многоугольников у одного из них внутренний угол был бы более 180.
В итоге, возможны лишь варианты, когда в вершине сходятся 3, 4, 5 и 6 правильных многоугольников.

Цели исследования:
- Закрепить знания о свойствах правильных многоугольников в процессе исследования вопроса о покрытии плоскости правильными многоугольниками.
- Обосновать с помощью математических фактов, как можно уложить правильный паркет на плоскости вокруг одной точки без просвета.
- Убедиться в практической значимости исследуемой темы.
- Придумать узор своему паркету на основе выбранного правильного многоугольника.

Задачи, стоящие передо мной
- Выяснить как устроен правильный паркет (геометрическая мозаика) на плоскости?
- Определить из скольких разных фигур правильных многоугольников
можно сложить правильный паркет на плоскости вокруг одной точки без просвета?
- Выяснить значимость изучаемой работы в нашей жизни.

ГИПОТЕЗА ИССЛЕДОВАНИЯ
Вокруг одной точки можно уложить плоскость правильными многоугольниками без просвета:
С помощью правильных многоугольников:
Шестью правильными треугольниками;
Четырьмя правильными четырехугольниками (квадратами);
Тремя правильными шестиугольниками.

С помощью правильных многоугольников двух различных форм:

Тремя треугольниками и двумя четырёхугольниками;
Четырьмя треугольниками и одним шестиугольником;
Двумя треугольниками и двумя шестиугольниками;
Одним четырёхугольником и двумя восьмиугольниками;
Одним треугольником и двумя двенадцатиугольниками.

С помощью правильных многоугольников трех различных форм:

Одним треугольником, двумя четырёхугольникамии одним шестиугольником;
Двумя треугольниками, одним четырёхугольником и одним двенадцатиугольником;
Одним четырёхугольником, одним шестиугольником и одним двенадцатиугольником.

ХОД ИССЛЕДОВАНИЯ
Ход I
Обозначим через n число сторон правильного многоугольника, тогда 180(n–2) – сумма всех внутренних углов многоугольника.

Сумма углов, сходящихся в одной точке равна 360 (полный круг).
Для правильных многоугольников наименьшее число n равно 3.
1) Если n = 3, то плоскость возможно уложить правильными треугольниками, их число равно 360 : 60 = 6.
2) Если n = 4, то плоскость возможно уложить правильными четырехугольниками,их число равно 360 : 90 = 4.
3) Если n = 6, то плоскость возможно уложить правильными шестиугольниками, их число равно 360 : 120 = 3.
Если n = 5 и n > 6 значение дроби больше 120 и правильных многоугольников не существует.

Вывод первый:
Вокруг одной точки можно уложить плоскость без просвета, следующими одноимёнными правильными многоугольниками:
- шестью правильными треугольниками;
- четырьмя квадратами;
- тремя правильными шестиугольникам.

Ход II
1) Обозначим n – количество треугольников, m – количество квадратов, тогда согласно гипотезе должно выполняться равенство 60n+90m=360.
Рассмотрим следующие случаи:
а) Если n = 1, то 90m = 360- 60·1; 90m = 300; m не целое .
При n = 1, задача решений не имеет.
б) Если n = 2, то 90m = 360- 60·2; 90m = 240; m не целое.
При n = 2, задача решений не имеет.
в) Если n = 3, то 90m = 360 - 60·3; 90m = 180; m = 2.
При n = 3, m = 2 задача имеет решение.
г) Если n = 4, то 90m = 360- 60·4; 90m = 12; m не целое .
При n = 4, задача решений не имеет.
д) Если n = 5, то 90m = 360- 60·5; 90m = 60; m не целое .
При n = 5, задача решений не имеет.
Примечание: при n больше пяти, задача решений не имеет, так как сумма получается больше 360.

2) Обозначим n – количество треугольников, m – количество шестиугольников, тогда согласно гипотезе должно выполняться равенство 60n+120m=360.
Рассмотрим следующие случаи:
а) Если n = 1, то 120m = 360- 60·1; 120m = 300; m не целое .
При n = 1, задача решений не имеет.
б) Если n = 2, то 120m = 360- 60·2; 120m = 240; m =2.
При n = 2, m = 2 задача имеет решение.
в) Если n = 3, то 120m = 360- 60·3; 120m = 180; m не целое.
При n = 3, задача решений не имеет.
г) Если n = 4, то 120m = 360- 60·4; 120m = 120; m =1.
При n = 4, m = 1 задача имеет решение.
д) Если n = 5, то 120m = 360- 60·5; 120m = 60; m не целое
При n = 5, задача решений не имеет.
Примечание: при n, больше пяти, задача решений не имеет, так как сумма получается больше 360.

3)Обозначим n – количество квадратов, m – количество восьмиугольников, тогда согласно гипотезе должно выполняться равенство 90n+135m=360.
Рассмотрим следующие случаи:
а) Если n = 1, то 135m = 360- 90·1; 135m =270; m =2.
При n = 1, m = 2 задача имеет решение.
б) Если n = 2, то 135m = 360- 90·2; 135m = 180; m не целое.
При n = 2, задача решений не имеет.
в) Если n = 3, то 135m = 36- 9·3; 135m = 9; m не целое.
При n = 3, задача решений не имеет.
г) Если n = 4, то 135m = 360-90·4; 135m =0; m не целое.
При n = 4, задача решений не имеет.
Примечание: при n, больше четырёх, задача решений не имеет, так как сумма получается больше 360.

4) Обозначим n – количество треугольников, m – количество двенадцатиугольников, тогда согласно гипотезе должно выполняться равенство 60n+150m=360.
Рассмотрим следующие случаи:
а) Если n = 1, то 150m = 360- 60·1; 150m =300; m =2
При n = 1, m = 2 задача имеет решение
б) Если n = 2, то 150m = 360 - 60·2; 150m = 240; m не целое.
При n = 2, задача решений не имеет.
в) Если n = 3, то 1500m = 3600- 600·3; 1500m = 1800; m =18/15.
При n = 3, задача решений не имеет.

Примечание: при n, больше трех, задача решений не имеет, так как сумма получается больше 360.

Вывод второй:
Вокруг одной точки можно уложить плоскость без просвета, следующими правильными многоугольниками двух различных форм:
- тремя треугольниками и двумя четырёхугольниками
- четырьмя треугольниками и одним шестиугольником
- двумя треугольниками и двумя шестиугольниками
- одним четырёхугольником и двумя восьмиугольниками
- одним треугольником и двумя двенадцатииугольниками.

Ход III
1) Обозначим n – количество треугольников, m – количество четырёхугольников, k - количество шестиугольников,
тогда согласно гипотезе должно выполняться равенство
60n+90m+120k =360.
Рассмотрим следующие случаи:
а) Если n=1, m=1, то 120k=360-60·1-90·1; 120k=210; k не целое .
При n = 1, m =1, задача решений не имеет.
б) Если n = 1, m =2, то 120k = 360- 60·1- 90·2; 120k = 120; k =1.
При n = 1, m = 2, k =1, задача имеет решение
в) Если n = 2, m =1, то 120k = 360- 60·2- 90·1; 120k = 1500; k не целое .
При n = 2, m =1, задача решений не имеет.
Примечание: при n, больше трех, задача решений не имеет, так как сумма получается больше 360.

2) Обозначим n – количество треугольников, m – количество квадратов,
k - количество двенадцатиугольников, тогда согласно гипотезе должно выполняться равенство
60n+90m+150k =360.
Рассмотрим следующие случаи:
а) Если n = 1, m =1, то 150k = 360 - 60·1-90·1; 150k = 210; k не целое .
При n = 1, m =1, задача решений не имеет.
б) Если n = 2, m =1, то 150 = 360- 60·2-90·1; 150k = 150; k =1.
При n = 2, m = 1, k =1, задача имеет решение

Примечание: при n, больше трех, задача решений не имеет, так как сумма получается больше 360.

3) Обозначим n – количество четырёхугольников, m – количество шестиугольников, k - количество двенадцатиугольников,
тогда согласно гипотезе должно выполняться равенство
90n+120m+150 k =360.
Рассмотрим следующие случаи:
а) Если n = 1, m =1, то 150k = 360- 90·1- 120·1; 150k = 150; k =1.
При n = 1, m =1, k =1, задача имеет решение

Примечание: при n, больше двух, задача решений не имеет, так как сумма получается больше 360.

Вывод третий:
Вокруг одной точки можно уложить плоскость без просвета, следующими правильными многоугольниками трех различных форм:
- одним треугольником, двумя четырёхугольниками и одним шестиугольником.
- двумя треугольниками, одним четырёхугольником и одним двенадцатиугольником.
- одним четырёхугольником, одним шестиугольником и одним двенадцатиугольником.


ПРИМЕНЕНИЕ
Проведённая работа показывает как теоретическое, так и практическое применение геометрического материала, а так же помогает увидеть достаточно обширное применение рассмотренного материала в жизни.
Правильные паркеты (геометрическая мозаика) широко встречается и используется
В строительстве и ремонте жилых помещений:
полы в жилых помещениях застилают паркетами,
стены ванных комнат покрывают кафельными плитками,
современные здания украшают мозаиками.
В спортивных играх: например
шахматная доска, сетка в играх с мячом и шайбой, пошив мяча.
В декоративно - прикладном искусстве:
вышивка на коврах, гобеленах, решетки на окнах
В пчеловодстве - пчелиные соты (вощина)

МОЁ ВЫСТУПЛЕНИЕ И ОПРОС
С данным материалом я выступил перед своими одноклассниками. Показал презентацию, рассказал и провёл опрос о полезности и значимости материала.

Вопросы были следующие:
Вам знакомо понятие «Мозаика»?
Знали ли Вы что такое «Правильный паркет (геометрическая мозаика)»?
Удалось ли мне Вас заинтересовать?
Как думаете часто ли в математике при доказательствах и исследованиях применяются похожие на мои рассуждения?
Смогли бы теперь сами повторить рассуждения и построить правильный паркет?

Я переработал полученные ответы, и построил диаграмму. Принимало участие 26 человек.
1) Да-25 Нет-1
2) Да-0 Нет-26
3) Да-26 Нет-0
4) Да-14 Нет-12
5) Да-19 Нет-7

МОЙ ПРАВИЛЬНЫЙ ПАРКЕТ С РИСУНКОМ
На основе паркета из квадратов я построил свой паркет, самостоятельно придумав рисунок.
Этапы выполнения работы представлены на рисунках.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В вершине правильного паркета (геометрической мозаики) может сходиться не более шести и не менее трех многоугольников.
Существует только конечное число правильных паркетов: 11.
Я научился видеть различные правильные паркеты в жизни, выступил на уроке математики и провёл опрос о том насколько полезной была информация.
Построил свой рисунок на правильном паркете с основой - квадрат.

« Геометрия как один из разделов математики — это не только стройная система законов, но и уникальное средство познания мира».

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Геометрия 7 – 9 , учебник для общеобразовательных школ. П.С. Атанасян, В.Ф.Бутузов и другие,13 – е издание, Просвещение , 2003 г.
2. Иванов И.И. «Метод проектов», Учебное пособие, 1999 г.
3. Щепан Еленьский «Занимательная математика, 1961 г.
4. Журнал «Математика в школе» , № 3 (1993 г.).
5. Г.Штейнгауз «Математический калейдоскоп, библиотечка «Квант», №8,1981г.
6. Журналы 1-е сентября 1992г., 1994г.
7. Интернет ресурсы

Скачать эту работу

Скачать эту презентацию

Рекомендуем посмотреть:

Экологический проект, 6 класс Диалекты на Вятке. Исследовательская работа, 6 класс Социальный проект для школьников 6 класса на тему: Добро с презентацией Экологический проект для школьников 5-7 класса «Звери нашей Родины»